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$$\sum_{y=0}^x ( {}_a C_y ~{}_b C_{x-y} ) = {}_{a+b} C_x$$ 위 등식이 성립합을 확인해보자. 우선 $(t+1)^a(t+b)^b = (t+1)^{a+b}$ 위 식의 양변에서 임의의 항의 계수는 같음을 보여보자 가령 $t^n$의 계수를 구해보자 우변의 경우 $t^n$의 계수는 ${}_{a+b} C_n$이다 $(n \leq a+b)$ 좌변의 경우를 구하기 위해 식을 전개해보면 $$[{}_a C_{a} t^{a} + {}_a C_{a-1} t^{a-1} + \cdots + {}_a C_{1} t^{1} + {}_a C_{0} t^{0} ]\cdot [{}_b C_{b} t^{b} + {}_b C_{b-1} t^{b-1} + \cdots + {}_b C_{1} t^{1..

$A$를 $n \times n$ 행렬이라 하고 $\lambda$가 스칼라일때 $AX = \lambda X$ 위 식이 주어젔을 경우 $\lambda$를 $A$의 고윳값(eigenvalue)라 하고 $X$는 고윳값에 대응하는 고유벡터(eigenvector)라 한다. 그리고 영벡터와 함게 $\lambda$에 대응하는 모든 고유벡터의 집합을 $\lambda$의 고유공간(eigenspace)라 하고 $E_\lambda$로 적는다. $A$가 $n \times n$ 행렬이고 $\lambda$가 스칼라일때 $AX = \lambda X$를 만족하는 $0$이 아닌 벡터 $X$가 존재하면, $\lambda$를 행렬 $A$의 고윳값(eigenvalue)라 한다. 이때, 벡터 $X$는 고윳값 $\lambda$에 대응하는 고유벡..

전칭기호(universal quantifier) 전체집합(universal set) : 어떤 집합이 주어젔을때 그 집합의 모든대상을 포함하는 집합. 가령 명제 "모든 사람은 죽는다." 위 명제의 전체집합은 "인류" 이다. 전체집합을 이용하여 위 명제를 아래처럼 나타낼 수 있다. "전체집합의 모든 $x$에 대하여 $x$는 죽기 마련이다." 여기서 하나의 구 "전체집합의 모든 $x$에 대하여" 를 전칭기호(universal quantifier)라 하고 이것을 $all$의 $A$를 뒤집어 만든 $\forall x$로 나타낸다. 즉, $\forall x$는 "모든 $x$에 대하여" 혹은 "각 $x$에 대하여" 의 뜻을 지닌다. 이 경우 "$x$는 죽기 마련이다"라는 주장은 $x$에 대한 한가지 조건을 제시하고 ..

모순(Contradiction) 항진명제에 반하여 모든 노리적 가능성의 각 경우마다 진리값이 거짓인 명제를 모순이라 한다. 항진명제 $t$에 대한 $\sim t$는 모순이고, 모순 $c$에 대한 $\sim c$는 항진명제이다. 가령 $p \wedge \sim p$는 하나의 모순이다. 항진명제 $t$, 모순 $c$, 임의의 명제 $p$에 대하여 다음이 성립한다. (a) $p \wedge t \Leftrightarrow p$, $p \vee t \Leftrightarrow t$ (b) $p \vee c \Leftarrow p$, $p \wedge c \Leftrightarrow c$ (c) $c \Rightarrow p$, $p \Rightarrow t$

명제와 결합자(Statements and Connectives) 논리(logic) : 타당하지 않은 논증(arguments)으로 부터 타당한 논증을 구별하는데 쓰이는 원리와 방법에 대한것 명제(statement) : 참, 거짓 중 어느 한 경우로되 동시에 양쪽은 아닌 서술문. 명제라면 참, 거짓중 꼭 어느 한쪽이어야함을 분명히 가릴만한 조건이 갖추어져 있어야 한다. 단순명제(simple statements)의 예 a) 대구는 대한민국의 도시이다. b) 2 + 1은 5와 같다. c) 달은 푸른치즈로 만들어졌다. e) 화성에는 지능을 지닌 생명체가 존재하지 않는다. f) 지금 비가 내리고 있다. 위의 명제들은 당장 답을 내리기에 곤란할수도 있지만 참과 거짓을 가릴 수 있는 분명한 기준이 존재한다. 합성명제(..

우선 함수에 관련된 몇가지 기본적인 개념을 알아보겠다. $\mathbb R^n$에서 $\mathbb R^m$으로의 변환(transform) $T$는 $\mathbb R^n$에 속하는 벡터 $v$를 $\mathbb R^m$에 속하는 $T(V)$에 대응 하는 규칙이다. $T$의 정의역(domain)은 $\mathbb R^n$이고 $T$의 공역(codomain)은 $\mathbb R^m$ 이며 이를 $T : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$ 으로 나타낸다. $T$아래에서 $V$의 상(image)은 $T$의 정의역의 벡터 $v$에 대해 공역의 벡터 $T(V)$를 지칭한다. $T$의 치역(range)은 $v$가 $T$의 정의역에 있을때 가능한 모든 상의 집합 $T(v)$를 지칭한다..

원점을 지나는 평면은 두 개의 방향벡터가 기저를 이루는 $\mathbb R^3$의 2차원 부분공간임을 알고있다(참고) 기저벡터는 $\mathbb R^2$의 복사판으로 평면을 보게 하는 그 평면/부분공간의 좌표축에 위치한다. 이러한 접근방법을 설명하기 이전에 이 방법으로 얻어지는 좌표는 유일함을 보장할 정리가 필요하다. $S$는 $\mathbb R^n$의 부분공간이고 $\mathcal B = \{ v_1,v_2,\cdots,v_k \}$는 $S$에 대한 기저라고 하자. $S$의 임의의 벡터 $v$에 대해, $\mathcal B$에 속하는 기저벡터의 일차결합 $$v=c_1v_1 + c_2v_2+\cdots + c_kv_k$$ 으로 $\mathcal B$의 성분을 이용하여 $v$를 표현하는 방법은 유일하다. ..

선형계에서 매우 중요하므로 햇갈리지 않게 정리 하였다. 행 사다리꼴 행렬(row echelon form matrix) 행 사다리꼴 행렬이 되기위한 3가지 조건 1.행렬의 행벡터에서 처음으로 $0$이 아닌 성분은 $1$이다. 2.영벡터가 존재할 경우 이들은 행렬의 바닥에 모여있다. 3.영벡터가 아닌 벡터가 연속해서 존재할경우 선행 $1$성분은 윗 벡터보다는 오른쪽에, 아랫 벡터 보다는 왼쪽에 존재한다. 예를 들어 아래 행렬들은 행 사다리꼴 행렬이다. $$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ..

기저(basis) $\mathbb R^n$의 부분공간 $S$에 대하여, $S$에 속하는 벡터들이 1) $S$를 생성한다. 2) 일차독립이다. 위 조건을 만족하면, 이런 벡터들의 집합을 부분공간 $S$에 대한 기저(basis)라고 한다. $\bullet$ 부분공간은 $\mathbb R^3$에서 원점을 지나는 평면의 일반화 라는 직관적인 사고로부터 많은것을 얻을 수 있다. $\bullet$ 원점을 지나는 평면은 그 평면에 평행하면서 서로 평행하지 않은 두 벡터에 의해 생성된다. 대수적인 용어로, 그런 두 벡터는 평면을 생성하고 일차독립이다. $\bullet$ 평면을 생성하기 위한 조건을 만족한 최소한의 갯수만큼 있는 두 벡터의 집합을 기저라고 한다. $\bullet$ 두 벡터보다 더 적은 개수로는 그런 역할..

$A$를 성분이 실수인 행렬이라고 하자. 연립일차방정식 $Ax=b$에 대해 다음 성질중 하나가 성립한다. a. 해가 존재하지 않는다(불능) b. 유일한 해가 존재한다. c. 무수히 많은 해가 존재한다(부정) (a)와 (b)가 성립하지 않으면 (c)가 성립한다. 즉, 두개 이상의 해가 존재한다면 유한개의 해가 아닌 무수히 많은 해가 있음을 보인다. $Ax=b$에서 적어도 다른 두개의 해 $x_1, x_2$가 존재한다 가정한다. $x_1 \neq x_2$에 대해 $Ax_1=b,\;\;Ax_2=b$ 이므로 $A(x_1-x_2)=Ax_1-Ax_2=b-b=0$ 이다. $x_0=x_1-x_2$라 두면, $x_0 \neq 0$ 이고 $Ax_0=0$이다. $x_1$과 $x_2$라는 서로다른 2개의 해가 존재하므로 $A..

부분공간(subspace) $\mathbb R^n$의 부분공간(subspace)은 다음을 만족하는 $\mathbb R^n$안의 벡터의 모임 $S$이다. 1. 영벡터 $0$은 $S$에 속한다. 2. $u$와 $v$가 $S$에 속하면 $u+v$도 $S$에 속한다. 즉, $S$는 덧셈에 대해 닫혀있다. 3. $u$가 $S$에 속하고 $c$가 스칼라 이면, $cu$도 $S$에 속한다. 즉, $S$는 스칼라배에 대해 닫혀있다. $\therefore$ $u$와 $v$가 $S$에 속하면 $c_1u+c_2v$도 $S$에 속한다. 즉, $S$는 일차결합에 대해 닫혀있다. 즉. 공집합이 아닌 $\mathbb R^n$상의 벡터들의 집합이 스칼라곱과 덧셈에 대해 닫혀있다면 이를 $\mathbb R^n$상의 부분공간이라 한다...

행렬분해(matrix factorization) 하나의 행렬을 여러개의 행렬의 곱으로 표현하는것 ex) $$\begin{bmatrix} 3&-1\\9&-5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3&-1\\0&-2 \end{bmatrix}$$ $LU$ 분해($LU$ factorization) $A$가 정사각행렬이라고 하자. $L$은 단위하삼각행렬이고 $U$는 상삼각행렬인 분해 $A=LU$를 $A$의 $\bf LU$분해(LU factorization)라고 한다. $L$은 대각성분이 1이고 위의 모든 성분이 0인 아래와 같은 형태의 행렬이다. $$L=\begin{bmatrix} 1&0&\cdots&0\\ *&1&\..

$A$가 $n \times n$ 행렬일때, $A$의 역행렬은 $AA'=I, A'A=I$ 를 만족하는 $n \times n$행렬 $A'$ $I=I_n$은 $n \times n$ 단위행렬이다. $A$의 역행렬 $A'$가 존재하면, $A$를 가역(invertible)이라고 한다. $A$가 가역행렬이면 $A$의 역행렬은 유일하다. 증명 $A$가 서로 다른 두개의 역행렬 $A'$과 $A''$를 갖는다 가정한다. $AA'=I=A'A, AA''=I=A''A$ $A'=A'I=A'(AA'')=(A'A)A''=IA''=A''$ $A'=A''$ 이므로 두행렬이 서로 다르다는 가정에 위배된다. 그러므로 $A$의 역행렬이 존재하면 유일하다. $\blacksquare$ 경고 $A^{-1}$은 $\displaystyle \frac..

덧셈의 스칼라 성질 행렬의 덧셈과 스칼라배의 대수적 성질에 대해 알아보자 $A$와 $B$, $C$를 같은 크기의 행렬이라 하고, $c$와 $d$를 스칼라 라고 하면 $$\begin{align*} &1) A+B=B+A &교환법칙\\ &2)(A+B)+C=A+(B+C)&결합법칙\\ &3)A+O=A\\ &4)A+(-A)=O\\ &5)c(A+B)=cA+cB&분배법칙\\ &6)(c+d)A=cA+dA&분배법칙\\ &7)c(dA)=(cd)A\\ &8)1A=A \end{align*}$$ 행렬의 일차결합(linear combination) $A_1,A_2,\cdots A_k$가 크기가 같은 행렬이고 $c_1,c_2,\cdots,c_k$가 스칼라이면 $c_1A_1+c_2A_2+\cdots+c_kA_k$ 를 일차결합이라 하고..

미지수의 최고차항이 1을 넘지 않는 다항방정식이다. $\mathbb R^2$에서 직선의 일차방정식은 $ax+by=c, \mathbb R^3$에서 평면의 이차 방정식은 $ax+by+cz=d$ 이다. $n$개의 미지수 $x_1, x_2,\cdots,x_n$에 대해 일차 방정식(linear equation) : $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ 계수 : $a_1, a_2,\cdots,a_n$ 상수항 : $b$ 일차방정식의 예 $\displaystyle 3x-4y=-1\\ r-\frac{1}{2}s-\frac{15}{3}t=9 \\ x_1-5x_2=3-x_3+2x_4 \\ \sqrt2x+\frac{\pi}{4}y-(\sin\frac{\pi}{5})z = 1 \\ 3.2x_1 - 0.01x..

$\mathbb R^2$에 있는 직선과 $\mathbb R^3$에 있는 직선, 평면에 대해 일반화 할 수 있다. ex) 방정식이 $2x+y = 5$ 직선 $l$이 있다. 그래프로 표현하면 아래와 같다. $l:2x+y=5$ $\overrightarrow n \left(\overrightarrow x - \overrightarrow p \right)=0, \overrightarrow n=\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}, \overrightarrow x = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \overrightarrow p = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ $\overrightarrow p$는 직선위의 임의의..

길이, 거리, 각의 벡터적인 의미는 두 벡터의 스칼라적의 표현을 사용하여 나타낼 수 있다. $\overrightarrow u$와 $\overrightarrow v$의 스칼라적 : $\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v = u_1v_1 + u_2v_2+\cdots+u_nv_n(\overrightarrow u, \overrightarrow v \in \mathbb R^n)$ $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v$ 는 벡터가 아닌 스칼라이다 ex) $\overrightarrow u = \begin{bmatrix}1 \\ 2\\ -3 \end{bmatrix}, \overrightarrow v = \begin{bmatrix}-3 \\ 5\\..