행 사다리꼴 행렬과 기약 행 사다리꼴 행렬

선형계에서 매우 중요하므로 햇갈리지 않게 정리 하였다.

 

행 사다리꼴 행렬(row echelon form matrix)

행 사다리꼴 행렬이 되기위한 3가지 조건

1.행렬의 행벡터에서 처음으로 $0$이 아닌 성분은 $1$이다.
2.영벡터가 존재할 경우 이들은 행렬의 바닥에 모여있다.
3.영벡터가 아닌 벡터가 연속해서 존재할경우 선행 $1$성분은 윗 벡터보다는 오른쪽에, 아랫 벡터 보다는 왼쪽에 존재한다.

 

예를 들어 아래 행렬들은 행 사다리꼴 행렬이다.

$$\begin{bmatrix}
1 & 4 & 3 & 7 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 4
\end{bmatrix}
,\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
,\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & 6 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

행 사다리꼴 행렬은 선형계에서 Augmented matrix에 gauss elimination에 의하여 기본 행 연산과정들을 거쳐 얻을 수 있다.

 

기약 행 사다리꼴 행렬(reduced row echelon form matrix)

행 사다리꼴 행렬의 세가지 조건에 아래 4번째 조건이 추가된다.

4.선행 1이 속한 열의 나머지 성분은 모두 0 이다.

예를들어 아래와 같은 행렬들은 모두 기약 행 사다리꼴 행렬이다.

$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 4
\end{bmatrix}
,\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
,\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 6 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

 

기약 행 사다리꼴 행렬은 행 사다리꼴 행렬의 subset 이다.

기약행 사다리꼴 행렬은  행 사다리꼴 행렬에서 backward phase를 거치는 gauss-jordan elimination을 거쳐 얻을 수 있다.