좌표(coordinate)

원점을 지나는 평면은 두 개의 방향벡터가 기저를 이루는 $\mathbb R^3$의 2차원 부분공간임을 알고있다(참고)

기저벡터는 $\mathbb R^2$의 복사판으로 평면을 보게 하는 그 평면/부분공간의 좌표축에 위치한다. 이러한 접근방법을 설명하기 이전에 이 방법으로 얻어지는 좌표는 유일함을 보장할 정리가 필요하다.

$S$는 $\mathbb R^n$의 부분공간이고 $\mathcal B = \{ v_1,v_2,\cdots,v_k \}$는 $S$에 대한 기저라고 하자.
$S$의 임의의 벡터 $v$에 대해, $\mathcal B$에 속하는 기저벡터의 일차결합
$$v=c_1v_1 + c_2v_2+\cdots + c_kv_k$$
으로 $\mathcal B$의 성분을 이용하여 $v$를 표현하는 방법은 유일하다.

증명

$\mathcal B$는 기저이므로 $S$를 생성하고 따라서 $v_1,v_2,\cdots,v_k$의 일차결합으로 $v$를 표현하는 방법은 적어도 한가지가 있다.

$$v=c_1v_1 + c_2v_2+\cdots + c_kv_k$$

우리는 위의 일차결합이 유일하다는것을 보일것이며 이를 위해

$$v=d_1v_1 + d_2v_2+\cdots + d_kv_k$$

위 2개의 식이 서로 일치한다는것을 보일것이다.

$$c_1v_1 + c_2v_2+\cdots + c_kv_k = d_1v_1 + d_2v_2+\cdots + d_kv_k$$

위 식을 재배열 하면

$$(c_1-d_1)v_1 + (c_2-d_2)v_2 + \cdots (c_k - d_k)v_k$$

이다. 한편 $\mathcal B$는 기저이므로 $v_1, v_2, \cdots, v_k$는 일차독립이다. 그러므로

$$(c_1-d_1)=(c_2-d_2)=\cdots=(c_k-d_k)=0$$

에서 $c_1 = d_1, c_2 = d_2, \cdots, c_k= d_k$이므로, 두개의 일차결합이 동일함을 알 수 있다.

따라서 $\mathcal B$에 속하는 벡터 $v$를 기저벡터의 일차결합으로 표현하는 방법은 유일하다.

$S$는 $\mathbb R^n$의 부분공간이고 $\mathcal B = \{ v_1, v_2, \cdots, v_k \}$를 $S$에 대한 기저라고 하자. $v$가 $S$에 속하는 벡터이고 $v=c_1v_1 + c_2v_2+\cdots + c_kv_k$일때, $c_1,c_2,\cdots,c_k$를 $\mathcal B$에 관한 $v$의 좌표(coordinate)라 하며 열벡터

$$[v]_{\mathcal B} = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_k \end{bmatrix}$$
를 $\mathcal B$에 관한 $v$의 좌표벡터(coordinate vector)라고 한다.