벡터 - 직선과 평면

$\mathbb R^2$에 있는 직선과 $\mathbb R^3$에 있는 직선, 평면에 대해 일반화 할 수 있다.

ex) 방정식이 $2x+y = 5$ 직선 $l$이 있다. 그래프로 표현하면 아래와 같다.

$l:2x+y=5$

$\overrightarrow n \left(\overrightarrow x - \overrightarrow p \right)=0, \overrightarrow n=\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}, \overrightarrow x = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \overrightarrow  p = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\overrightarrow p$는 직선위의 임의의 점이다.

$\overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = \begin{bmatrix} 2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = 2x + y$

$\overrightarrow n \cdot \overrightarrow p = \begin{bmatrix} 2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 3\end{bmatrix} = 5$

$\overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$는 직선방정식의 일반형의 또다른 표현이다.

 

$\therefore \mathbb R^2$에 있는 직선$l$의 방정식의 표준형(normal form)은 $\overrightarrow n \left( \overrightarrow x-\overrightarrow p \right)=0$ 또는 $\overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$ 이다. 이때 $p$는 $l$ 위의 임의의 점이고 $\overrightarrow n$은 $l$에 대한 법선 벡터이다. l의 방정식의 일반형(general form)은 $ax+by=c$이며, 여기서 $\overrightarrow n = \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ 는 $l$에 대한 법선 벡터이다.

 

직선 $l$의 벡터형 방정식을 구해보자.

$\overrightarrow x - \overrightarrow p$는 방향벡터 $\overrightarrow d$ 에 평행하고 $\overrightarrow d$ 의 스칼라배 형태여야 한다. 즉, 적당한 스칼라 t에 대해 $\overrightarrow x - \overrightarrow p = t \hat d$ 또는 $\overrightarrow x = \overrightarrow p + t \hat d$ 이어야 한다.

$\begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\3 \end{bmatrix}+ t\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix}$

or

$x=1+t$

$y=3-2t$

 

$\mathbb R^3$에서의 일반화의 경우

$\therefore$ $\mathbb R^2$ 또는 $\mathbb R^3$에 있는 직선 $l$의 방정식이 벡터형(vector form)은

$\overrightarrow x = \overrightarrow p + t \hat d$이다

$\overrightarrow p$는 $l$위의 임의의 점, $\hat d$ 는 $l$에 대한 방향벡터이다

벡터방정식에서 성분에 대한 방정식은 $l$의 매개변수형 방정식 (Parametric Equation) 이라고 한다.

 

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$\mathbb R^3 에서의 평면$

$\overrightarrow n$은 무수히 많은 벡터들에 대해 수직이다.

$ax+by+cz=d : \mathbb R^3$에서 평면의 방정식

$\overrightarrow n=\begin{bmatrix}a\\b\\c \end{bmatrix}$ 이고 $\overrightarrow x=\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}$ 이면

$ax+by+cz=d,\; d= \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$

$\therefore \mathbb R^3$에 있는 평면 $\boldsymbol{P}$의 방정식에 대한 표준형(normal form)은

$$\overrightarrow n \cdot (\overrightarrow x - \overrightarrow p) = 0 \; 또는 \; \overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$$

이다. 이때 $\overrightarrow p$는 $\boldsymbol{P}$위의 점이고 $\overrightarrow n \neq 0$ 은 $\boldsymbol P$에 대한 법선벡터이다. $\boldsymbol P$의 방정식에 대한 일반형(general form)은 $ax+by+cz=d$이고, 여기서

$\overrightarrow n=\begin{bmatrix}a\\b\\c \end{bmatrix}$는 $\boldsymbol P$에 대한 법선벡터이다.

 

P=(6,0,1)이고 법선벡터가 $\displaystyle \overrightarrow n=\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}$ 인 평면 방정식에 대한 표준형과 일반형을 구하라  풀이)  $\displaystyle \overrightarrow p=\begin{bmatrix}6\\0\\1 \end{bmatrix}, \overrightarrow n=\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}$ 일때 $\displaystyle \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p = 9$이다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$ 이고 일반 방정식은 $x+2y+3z=9$ 이다.  $Q=(9,0,0), R=(3,3,0)$에 대해  $\displaystyle \overrightarrow u = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow q - \overrightarrow p=\begin{bmatrix}3\\0\\-1 \end{bmatrix},   \overrightarrow v = \overrightarrow {PR} = \overrightarrow r - \overrightarrow p=\begin{bmatrix}-3\\3\\-1 \end{bmatrix}$ 인다  그러므로  평면의 벡터방정식은  $\displaystyle \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}6\\0\\1 \end{bmatrix}+S \begin{bmatrix}3\\0\\-1 \end{bmatrix}+ t  \begin{bmatrix}-3\\3\\-1 \end{bmatrix}$  매개변수 방정식은  $\displaystyle \left.\begin{array}{l} x=6+3s-3t\\y=3t\\z=1-s-t\\ \end{array} \right.$

 

$\therefore$ $\mathbb R^3$에 있는 평면의 방정식에 대한 벡터형은 $$\overrightarrow x = \overrightarrow p+s\overrightarrow  u + t\overrightarrow v$$ 이며 $\overrightarrow p$ 는 평면 위의 점이고 $\overrightarrow u$와 $\overrightarrow v$는 평면에 대한 방향 벡터이다. $\overrightarrow u$와 $\overrightarrow v$는 0이 아니고 평면에 평행 하지만 서로 평행하지 않다. $\overrightarrow u$와 $\overrightarrow v$는 $\overrightarrow u - \overrightarrow p$에 대해서 기저여야 한다.   $\overrightarrow{PX} = \overrightarrow x - \overrightarrow p = s\overrightarrow u + t \overrightarrow v$

 

 

$\mathbb R^2$에서의 직선 방정식

표준형	일반형	벡터형	매개변수형
$$\overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$$	$$ax+by=c$$	$$\overrightarrow x = \overrightarrow p + t \overrightarrow d$$	$$\left\{ \begin{array}{l}x=p_1+td_1 \\y=p_2+td_2\end{array} \right.$$

 

$\mathbb R^3$에서의 직선과 평면

	표준형	일반형	벡터형	매개변수형
직선	$$\overrightarrow n_1 \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n_1 \cdot \overrightarrow p_1$$ $$\overrightarrow n_2 \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n_2 \cdot \overrightarrow p_2$$	$$\left\{ \begin{array}{l}a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \end{array}  \right.$$	$$\overrightarrow x = \overrightarrow p + t \overrightarrow d$$	$$\left\{ \begin{array}{l}x=p_1+td_1 \\y=p_2+td_2 \\z=p_3+td_3\end{array}  \right.$$
평면	$$\overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$$	$$ax+by+cz=d$$	$$\overrightarrow x = \overrightarrow p + s \overrightarrow u + t \overrightarrow v$$	$$\left\{ \begin{array}{l}x=p_1+su_1+tv_1 \\y=p_2+su_2+tv_2 \\z=p_3+su_3+tv_3\end{array}  \right.$$

표준형과 일반형의 직선을 보면 2개의 평면을 겹처서(연립) 직선을 만드는것을 볼 수 있다.

 

균형공식: 대상의 차원 + 방정식의 개수 = 공간이ㅡ 차원

ex)$\mathbb R^3$에 있는 평면은 이차원 이므로 2+1=3, 삼차원 공간에선 하나의 식이 필요

$\mathbb R^3$에 있는 직선은 일차원 이므로 3-1=2 개의 방정식이 필요

 

점 B=(1,0,2)에서 점 A=(3,1,1)을 지니고, 방향벡터 $\displaystyle d=\begin{bmatrix}-1\\1\\0 \end{bmatrix}$을 갖는 직선 l까지의 거리를 구하라   풀이)   $\displaystyle \overrightarrow V = \overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix}-2\\-1\\1 \end{bmatrix}$ d위로의 v사영은  $Proj_d(V)=\left(\frac{\overrightarrow  d \cdot \overrightarrow v}{\overrightarrow d \cdot \overrightarrow  d} \right) \overrightarrow v=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$ 우리가 원하는 벡터 : $\displaystyle \overrightarrow V-Proj_d(V)=\begin{bmatrix}-2 \\-1 \\1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{3}{2}\\\frac{3}{2} \\0 \end{bmatrix}$ $B$에서 $l$까지의 거리 $d()$B,l은 $\displaystyle \|\overrightarrow V - Proj_d(V) \|= \left\|\begin{bmatrix} -\frac{3}{2}\\-\frac{3}{2} \\1 \end{bmatrix} \right\|$   $$\displaystyle d(B,l)=d(V,Proj_d(V))=\frac{|ax_0+by_0-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$