벡터 - 길이와 각도(스칼라 적)

길이, 거리, 각의 벡터적인 의미는 두 벡터의 스칼라적의 표현을 사용하여 나타낼 수 있다.

$\overrightarrow u$와 $\overrightarrow v$의 스칼라적 : $\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v = u_1v_1 + u_2v_2+\cdots+u_nv_n(\overrightarrow u, \overrightarrow v \in \mathbb R^n)$

$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v$ 는 벡터가 아닌 스칼라이다

ex) $\overrightarrow u = \begin{bmatrix}1 \\ 2\\ -3 \end{bmatrix},
\overrightarrow v = \begin{bmatrix}-3 \\ 5\\ 2 \end{bmatrix}$ 일때 $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1 \cdot (-3)+2 \cdot5+(-3) \cdot 2 = 1$

 

스칼라적의 성질

$\overrightarrow u, \overrightarrow v, \overrightarrow w$ 가 $\mathbb R^n$의 벡터이고 c가 스칼라이면 다음이 성립한다.

$a) \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \overrightarrow v \cdot \overrightarrow u$  (교환법칙)

$b) \overrightarrow u \cdot(\overrightarrow v + \overrightarrow w) = \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v + \overrightarrow u \cdot \overrightarrow w$   (분배법칙)

$c)(c \overrightarrow u) \cdot \overrightarrow v = c(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v)$

$d) \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v \geq 0$ 이고, $ \displaystyle \overrightarrow u \cdot \overrightarrow u = 0 $ 이기위한 필요충분조건은 \(\overrightarrow u = 0\) 이다.

이다.

$\mathbb R_m^n$의 벡터들에 대해서도 스칼라적을 마찬가지로 생각할 수 있다.

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길이

$a^2+b^2 = \overrightarrow v \cdot \overrightarrow v$

 

$\mathbb R ^ n$의 벡터 $\overrightarrow v = [v_1, v_2,\cdots,v_n]$의 길이(length) 또는 노름(norm)은

$$\|\overrightarrow v\| = \sqrt{\overrightarrow v \cdot \overrightarrow v}= \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}$$

으로 정의된 음이 아닌 스칼라 $\|\overrightarrow v\|$

 

ex) $\|[2,3]\|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

 

$\overrightarrow v$가 $\mathbb R ^n$의 벡터이고 c가 스칼라이면, 다음이 성립한다.

a)$\|\overrightarrow v\|=0$ 이기 위한 필요충분 조건은 $\overrightarrow v =0$ 이다.

b)$\|c\overrightarrow v\| = |c|\|\overrightarrow v\|$

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정규화(normalization)

특정 벡터의 단위벡터를 구하는것

단위벡터(unit vector) : 길이가 1인 벡터

$\mathbb R^2$에서 모든 단위 벡터의 집합은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원인 단위원과 일치한다.

 

ex) $\overrightarrow v = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ 을 정규화 하라.

proof) $$\|\overrightarrow v\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}\\
\hat v = \frac{1}{\|\overrightarrow v\|}, 
\overrightarrow v= \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{14}}\\-\frac{1}{\sqrt{14}}\\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{bmatrix}$$

 

기본 단위 벡터(standard unit vector)

$e_i$ : $\mathbb R^n$에서 정의 가능하며, i번째 성분만 크기가 1이거 나머지는 0인 벡터

$\mathbb R^n$에서 단위벡터들은 $e_1, e_2, \cdots, e_n$을 정의 할 수 있다.

 

코사-슈바르츠 부등식 $$|\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v| \leq \|\overrightarrow u\|\|\overrightarrow v\|$$

 

삼각 부등식 $\overrightarrow u, \overrightarrow v \in \mathbb R^n$에 대해서 $$\|\overrightarrow u + \overrightarrow v\| \leq \|\overrightarrow u\|+\|\overrightarrow v\|$$

 

거리 $\mathbb R^n$의 두 벡터 $\overrightarrow u$ 와 $\overrightarrow v$ 사이의 거리$(distance)$ $d\left(\overrightarrow u, \overrightarrow v\right)$는 $$d\left(\overrightarrow u, \overrightarrow v\right) = \|\overrightarrow u - \overrightarrow v\|$$

 

각의 크기 코사인 법칙에 의해 $\left\| \overrightarrow u - \overrightarrow v \right\|^2 = \|\overrightarrow u\|^2+\|\overrightarrow  v\|^2 - 2\|\overrightarrow  u\|\|\overrightarrow  v\| \cos \theta$ 식을 전개하고$\|\overrightarrow u|\|^2 = \overrightarrow v \cdot \overrightarrow v$ 임을 이용하면 $\left\|\overrightarrow u \right\|^2 -2\left(\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v \right) + \left\|\overrightarrow v \right\|^2 = \left\|\overrightarrow u \right\|^2+\left\|\overrightarrow v \right\|^2 - \|\overrightarrow u\|\|\overrightarrow v\|\cos \theta\\ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left\|\overrightarrow u \right\| \left\|\overrightarrow v \right\| \cos \theta$   $\therefore \mathbb R^n$의 임의의 0이 아닌 두벡터 $\overrightarrow u$ 와 $\overrightarrow v$에 대해 $\cos \theta= \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{\left \| \overrightarrow u \right \|\left \| \overrightarrow v \right \|}$

 

 

 

직교 벡터(orthogonal vector) $\displaystyle \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{\left \| \overrightarrow u \right \|\left \| \overrightarrow v \right \|}=\cos90^{\circ}=0$ 이다. 즉, $\mathbb R^n$의 벡터 $\overrightarrow u$와 $\overrightarrow v$는 $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0$일때, 서로 수직 또는 직교 라고한다.

 

 

사영(projection)   $\displaystyle \overrightarrow P=\hat u\|\overrightarrow v\|\cos \theta\\ \hat u=\frac{\overrightarrow u}{\|\overrightarrow u\|},\; \cos \theta=\frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{\|\overrightarrow u\| \|\overrightarrow v\|}$ 이므로 $\displaystyle \overrightarrow P = \frac{\overrightarrow u}{\|\overrightarrow u\|} \cdot \frac{\overrightarrow  u \cdot \overrightarrow  v}{\|\overrightarrow  u\| \|\overrightarrow v\|}\cdot \|\overrightarrow  v\| = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow  v}{\|\overrightarrow  u\|^2}\cdot \overrightarrow u = \left(\frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow u} \right) \overrightarrow u$   $\therefore$ $\overrightarrow u$와 $\overrightarrow v$ 가  $\mathbb R^n$에 있는 벡터들이고 $\overrightarrow u \neq 0$ 이면, $\overrightarrow u$ 위로의 $\overrightarrow v$의 사영(projection)을 $\displaystyle proj_{\overrightarrow u}\left(\overrightarrow  v\right)$로 나타내고 $$\displaystyle proj_{\overrightarrow u}\left(\overrightarrow  v\right)=\left(\frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow u}\right) \overrightarrow u$$ 라고 정의한다.