연립일차방정식의 해

$A$를 성분이 실수인 행렬이라고 하자. 연립일차방정식 $Ax=b$에 대해 다음 성질중 하나가 성립한다.

a. 해가 존재하지 않는다(불능)
b. 유일한 해가 존재한다.
c. 무수히 많은 해가 존재한다(부정)

(a)와 (b)가 성립하지 않으면 (c)가 성립한다. 즉, 두개 이상의 해가 존재한다면 유한개의 해가 아닌 무수히 많은 해가 있음을 보인다.

 

$Ax=b$에서 적어도 다른 두개의 해 $x_1, x_2$가 존재한다 가정한다.

$x_1 \neq x_2$에 대해

$Ax_1=b,\;\;Ax_2=b$

이므로

$A(x_1-x_2)=Ax_1-Ax_2=b-b=0$

이다.

$x_0=x_1-x_2$라 두면, $x_0 \neq 0$ 이고 $Ax_0=0$이다.

$x_1$과 $x_2$라는 서로다른 2개의 해가 존재하므로 $A$의 영공간은 자명하지 않으나($x_0 \neq 0$) 위 식은 homogeneouns equation 인데 자명해를 못가지므로 무수히 많은 비자명해를 가짐을 알 수 있다.

$null(A)$는 스칼라 배에 관해 닫혀있으며

모든 스칼라 $c$에 대해 $cx_0$는 $null(A)$의 원소이다.

 

$\therefore$ $A$의 영공간은 $cx_0$ 형태의 모든 벡터를 포함하고, 이들이 무수히 많으므로 $A$의 영공간은 무수히 많은 벡터를 포함한다.($c$가 무수히 많으므로)

 

$c$가 실수일때 $x_1+cx_0$형태의 무수히 많은 벡터를 생각해보자.

앞서 우리는 $Ax_1=b$와 $Ax_0=0$ 임을 알 고 있으므로

$A(x_1+cx_0)=Ax_1+cAx_0=b+c0=b$

이므로, $Ax=b$는 무수히 많은 해를 가진다.

 

$cx_0$형태로 이루어진 벡터모임 $S$가 $\mathbb R^n$의 부분공간이 될 수 있는지 알아보자.

 

1) $c=0$ 이면 $cx_0=0$ 이므로 영벡터는 $S$에 속한다.

2) 벡터모임$S$에 속하는 임의의 두벡터 $c_0x_0$와 $c_1x_0$가 있을때

$c_0x_0+c_1x_0=(c_0 + c_1)x_0$ 으로 벡터모임 $S$에 속하므로 $S$는 덧셈에 대해 닫혀있다.

3) 벡터모임 $S$에 속하는 임의의 벡터 $c_0x_0$에 임의의 스칼라 $d$를 곱하면 $c_0dx_0$가 된다.

이또한 벡터모임 $S$에 속하므로 $S$는 스카랄배에 대해 닫혀있다.

 

$\therefore$ $S$ 는 $\mathbb R^n$의 부분공간이다.

 

 

동차(homogeneous)와 비동차(nonhomogeneous)

$$Ax=b$$

형태의 일차연립방정식에서 벡터 $b$의 모든 원소가 $0$ 이면 동차(homogeneous) 하나라도 $0$이 아닌 원소가 있다면 비동차(nonhomogeneous) 라한다.

 

동차 연립 일차 방정식에서 $x=0$일경우 방정식이 성립하므로 해가 될 수 있으며 이를 자명해(trivial solution)이라 부른다.

$x \neq 0$ 인 해를 비자명해(nontrivial solution)라 한다.

앞서 살펴봤듯이 비동차연립일차방정식의 해는 셋중 하나이다.

해가 없거나, 하나이거나, 무수히 많거나

하지만 동차 연립일차 방정식의 경우 최소한 $x=0$인 자명해는 무조건 가질 수 있으므로 해가 없는경우는 제외된다 그러므로 아래 2가지 중 하나가 성립된다.

1. 자명해만을 가진다.
2. 자명해를 포함한 무수히 많은 비자명해를 가진다.

즉, 동차방정식에서는 자명해를 못가진다면 무조건 무수히 많은 비자명해를 가진다.

$n$개의 미지수를 갖는 $m$개의 방정식으로 이루어진 동차연립일차방정식은 $m<n$이면 즉, 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면 자명하지 않은 해를 갖는다.