행렬 대수

덧셈의 스칼라 성질

행렬의 덧셈과 스칼라배의 대수적 성질에 대해 알아보자

$A$와 $B$, $C$를 같은 크기의 행렬이라 하고, $c$와 $d$를 스칼라 라고 하면

$$\begin{align*} &1) A+B=B+A &교환법칙\\ &2)(A+B)+C=A+(B+C)&결합법칙\\ &3)A+O=A\\ &4)A+(-A)=O\\ &5)c(A+B)=cA+cB&분배법칙\\ &6)(c+d)A=cA+dA&분배법칙\\ &7)c(dA)=(cd)A\\ &8)1A=A \end{align*}$$

 

행렬의 일차결합(linear combination)

$A_1,A_2,\cdots A_k$가 크기가 같은 행렬이고 $c_1,c_2,\cdots,c_k$가 스칼라이면

$c_1A_1+c_2A_2+\cdots+c_kA_k$

를 일차결합이라 하고 $c_1,c_2,\cdots,c_k$를 계수(codefficient)라 한다.

 

행렬 곱셈의 성질

$A,B,C$가 아래연산이 가능한 행렬이고 $k$가 스칼라이면, 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} &1) A(BC)=(AB)C& &결합법칙\\ &2) A(B+C)=AB+AC& &좌분배법칙\\ &3) (A+B)C=AB+BC& &우분배법칙\\ &4) k(AB)=(kA)B=A(kB)\\ &5)I_mA=A=AI_m,여기서\;A는\; m\times n이다.&\;\;\;  & 곱의 항등원 \end{align*}$$

 

전치행렬의 성질

$A$와 $B$가 아래연산이 가능한 행렬이고 $k$가 스칼라이면, 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} &a. (A^T)^T=A\\ &b. (A+B)^T=A^T+B^T\\ &c. (kA)^T=k(A^T)\\ &d. (AB)^T=B^TA^T\\ &e. 음이\;아닌\;모든\;정수\;r에\;대하여\; (A^r)^T=(A^T)^r \end{align*}$$

 

a. $A$가 정사각 행렬이면, $A+A^T$는 대칭행렬이다. b. 임의의 행렬 $A$에 대하여, $AA^T$와 $A^TA$는 대칭행렬이다. c. $A,B$가 $n \times n$ 대칭행렬이면, $A+B$도 $n \times n$ 대칭행렬이다. d. $A$가 $n \times n$ 대칭행렬이면, 임의의 스칼라 $k$에 대해 $kA$도 $n \times n$ 대칭행렬이다. e. $A,B$가 $n \times n$ 대칭행렬이더라도, $AB$는 대칭행렬이 아닐수도 있다.

증명

a. $(A+A^T)^T=A^T+(A^T)^T=A^T+A=A+A^T$

b. 임의의 행렬 $C$가 대칭행렬이기 위해선 $C=C^T$를 만족해야한다.

    $(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T$

    $(AA^T)^T=AA^T$이므로 $AA^T$는 대칭행렬이다.

c. $A^T=A, B^T=B$ 이므로

   $(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$

   $\therefore$ A+B는 대칭행렬이다.

d. $A^T=A$이며

   $(kA)^T=kA^T=kA$

   $\therefore$ $kA$는 대칭행렬이다.

e. $A^T=A, B^T=B$

   $(AB)^T=B^TA^T=BA$ 

   $AB$가 대칭행렬이기 위해선

   $(AB)^T=AB$

   여야 하지만

   $AB \overset{?}{=} BA$ 

   이므로 $AB$는 대칭행렬이 아닐수도 있다.

 

상삼각행렬(upper triangular matrix)

$$\begin{bmatrix} *&*&\cdots&*&*\\ 0&*&\cdots&*&*\\ 0&0&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&&*&*\\ 0&0&\cdots&0&* \end{bmatrix}$$

대각 성분 아래의 모든 성분들이 0인 정사각행렬을 지칭한다.

*로 표시된 성분들은 임의이다.

좀더 형식화된 정의는 $A=[a_{ij}],\;\;a_{ij}=0(i>j)$ 이다.