전체 확률 법칙(Law of total probability)

표본공간 $S$를 $n$개로 분할하여 사상 $\{B_1,B_2,\cdots,B_n\}$를 얻는다.
$P(B \neq 0),\;\;\;i=1,2,\cdots,n$ 일때
$S$의 임의의 사건 $A$에 대해
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i \cap A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$$

표본 공간 $S$가 아래와 같이 주어진다.

 

표본공간 $S$가 $n$개의 사상 $\{B_1, B_2, B_3, B_4\}$로 분할되어 있다.

그리고 사상 $A$가 표본공간 $S$의 임의의 사상이다.

그림에서 보다시피

$A=(B_1 \cap A)\cup (B_2 \cap A)\cup (B_3 \cap A)\cup (B_4 \cap A)$

사건 $A$의 확률을 교집합의 합집합으로 나타낼 수 있다.

여기서 각각의 $B_i \cap A$는 배반이다

따라서

$P(A)=P(B_1 \cap A)+ P(B_2 \cap A)+ P(B_3 \cap A)+ P(B_4 \cap A)$