2. 선형 시불변 시스템(LTI system) - 서론

선형성과 시불변성은 두가지 중요한 이유 때문에 신호와 시스템 분석에서 기본적인 역할을 수행한다.

1. 많은 물리적인 과정들이 선형성과 시불변성의 특징들을 지니고 있기 때문에 선형 시불변(LTI) 시스템으로 모델링될 수 있다.

2. LTI시스템은 상당히 자세히 분석될 수 있어서, 그 시스템 특성들과 신호와 시스템 분석의 핵심을 형성하는 강력한 도구들의 집합을 자세히 볼 수 있게 해준다.

 

LTI 시스템이 분석하기에 좋은 이유

중첩의 특성을 지니기 때문이다.

LIT에 대한 입력을 기본적인 신호들 집합의 선형적인 합성의 항으로 표현할 수 있다면, 출력의 계산을 위해선 기본적인 신호들에 대한 응답의 항으로 중첩을 사용할 수 있다.

$$ax_1(t)+bx_2(t) \rightarrow ay_1(t)+by_2(t)$$

$$ax_1[n]+bx_2[n] \rightarrow ay_1[n]+by_2[n]$$

 

 

LTI 시스템과 단위 임펄스

임의의 신호를 지연된 임펄스들의 선형적인 합으로 표현 할 수 있다.

$$x(t)=\int_{\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$$

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$$

이를 통해 단위 임펄스에 대한 응답의 항으로 어떤 LTI 시스템의 완전한 특성을 알 수 있게 해준다.

이산시간의 경우엔 컨볼루션 합으로, 연속시간의 경우엔 컨볼루션 적분을 발전시켜 LTI 시스템의 특성들을 조사하기 위해 사용된다.

선형 상계수 미분방정식에 의패 표현되는 연속시간 시스템의 부류와 상응하는 이산시간에서의 선형 상계수 차분 방정식에 의해 표현되는 시스템들의 부류를 고려한다.