연속형 확률분포 - 카이제곱분포(chi-square distribution)

카이제곱 분포는 감마분포에서 $\theta=2,\;\;\alpha=\dfrac{r}{2}\;(r\;is\;positive\;integer)$을 가지는 특수한 분포를 가리킨다.

확률변수 $X$의 $pdf$는
$$f(x)=\frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}x^{(r/2)-1}e^{-x/2}\;\;\;\;,0 < x < \infty$$
$X$는 자유도(degree of freedom) $r$의 카이제곱분포를 따른다 하고 $\chi^2(r)$이라 표기한다.


평균과 분산
$$\mu=r\;\;\;\;\;,\sigma^2=\alpha \theta^2=2r$$

자유도 $r$과 $x$값에 대한 카이제곱 $cdf$
$$F(x)= \int_{0}^{x} \frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}w^{(r/2)-1}e^{-w/2}\;dw$$

 

카이제곱의 $mgf$
$M(t)=(1-2t)^{-r/2}\;\;\;\;\;,t<\dfrac{1}{2}$

이며 이를통해 평균과 분산을 구할 수 있다.

$$\mu=\alpha\theta=\frac{r}{2}2=r\;\;\;\;\;,\sigma^2=\alpha \theta^2=\frac{r}{2}2^2=2r$$

 

 

 

자유도 $r$과 $x$값에 대한 카이제곱 $cdf$

$$F(x)= \int_{0}^{x} \frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}w^{(r/2)-1}e^{-w/2}\;dw$$

카이제곱분포는 응용분야에서 매우 중요하므로 미리 여러값들이 주어진다.

 

예제 3.2-7 에서의 확률들은 통계응용에서 매우 중요하다. 따라서 $a$와 $b$에 대해 특별한 표기를 사용한다.

$\alpha$를 양의 확률(보통 $0.5$보다 작은) 그리고 $X$는 $\chi^2(r)$분포를 가진다 하자.

그러면 다음과 같이 정의되는 $\chi^2(r)$분포의 백분위수는 통계응용에서 매우 유용하다. 즉 $\chi_\alpha^2(r)$은

$$P[X \geq \chi_\alpha^2(r)]=\alpha$$

를 만족하는 $\chi^2(r)$ 분포의 제$100(1-\alpha)$백분위수(혹은 상위 $100\alpha$백분위수)이고, $\chi_{1-\alpha}^2(r)$은

$$P[X \leq \chi_{1-\alpha}^2(r)]=\alpha$$

를 만족하는 $\chi^2(r)$ 분포의 제$100\alpha$백분위수이다.